Annexe 1. Exemple de calcul comparatif des concepts de la mécanique classique de Newton et relativistes de Einstein. Fig. 1 à 6 du texte.

Masse M des astronautes:
M₁ = 80kg et M₂ = 80kg

Rayon du satellite:

Vitesse rel. astronautes

Vitesse tangentielle d'entraînement

Vitesse absolue 1 :

Vit. angulaires

Vitesse absolue 2 :

Forces centrifuges

Forces entr. Forces relatives

Forces de Coriolis

Forces absolues:

Forces entraînement + relatives:

Calcul d'u coefficient k de l'effet de la masse complémentaire correspondant aux forces de Coriolis.
Relations entre les forces d'inerties d'entraînement + relatives à l'inertie Coriolis.

Donc masses Coriolis =

Masse inert. M + M._C1=

Donc masses Coriolis =

Masse inert. M + M._C1=

Accélérations

Equation de Newton compte tenu des masses Coriolis. Le résultat correspond à la forme F=mg. la masse m est corrigée par la valeur m = M(1+k_i)

Considérons les équations ci-dessus sous une forme quadratique matricielle

= S (F_entr. + F_relat.)

= F_absolue

= S (F_enttr. + F_relat.)

= F_absolue

= F_Coriolis

On retrouve les valeurs calculées par l'équation fondamentale de Newton généralisée à conditions d'introduire la matrice 4 x 1. La forme 1,0,0,1 correspond à la forme F (entraînement + relative).

Comparaison des notions énergie cinétique complémentaire de Newton et relativiste

Remarque: même hypothèse que précédemment: un univers ou c (vit. de la lumière) = C= 30m/s afin d'accentuer les courbes. La substitution est sans influence sur les résultats axiomatiques.

Energie cinétique totale
correspondant aux forces
centrifuges agissant sur
les voyageurs: E=Mv_abs²/2
vit_abs = v_{e +}v_r

Energ. vit. relative

Energ. cinétique vit.entraînement

Energie cin. réelle astronaute 1

Energie cin. réelle astronaute 2

Energie induite
par les forces complémentaires
de Coriolis.

Energ. vit_ent + vit_rel

S Energie cin. de Coriolis
des deux astronautes = 0 !

soit:

Energie cin.
totale y
compris
énergie
de Coriolis

= énergie cinétique
astronaute 1

= énergie cinétique
astronaute 2

Donc: E_cora = -E_{corb: on démontre que les forces de Coriolis résultantes d'une interaction et donc d'un échange de quantités de mouvement, sont toujours égales et de signes contraires.}

Donc E₁ différent E_2,: conséquence des masses newtonienne variables! Si la somme des énergies cinétiques est nulle il n'en est pas de même des énergies instantanées réelles des astronautes. Donc: dans un système fermé comme le satellite isolé, le principe de l'invariance de la somme des énergies potentielles est bien fondée. Par contre l'énergie propre à deux objets distincts à mouvements relatifs, suite à un échange de quantités de mouvement, est réelle et non proportionnelle à l'inertie des masses en question. Les effets interactifs affichent des valeurs intertielles non conformes aux valeurs réelles.

L'énergie complémentaire de (Newton) correspondant à la force de Coriolis:

donc: Energie_Coriolis = masse m. v_{entraînement} . v_relative soit: E = m. v_e . v_r. posons : v_{entraînement} = c_e et v_relative = c_r, nous trouvons: E = m.c_e ^. c_r = c²

Donc:

Energie cinétique_{Coriolis Newton} = Energie_Einstein au repos pour une vitesse c :

Energie_Einstein potentielle masse d'un astronaute:

Appliqué dans notre exemple avec C (vit.fictive = C_N) = c (vit. relativiste) :

Equivaut à l'énergie E_Coriolis de la masse
complémentaire de Coriolis newtonienne:

Variation de l'énergie dans un univers à vitesse limite C = 30m/sec.

v_en= vitesse d'entraînement

Vitesses relatives de -30m/s à +30m/s. (v_re1 = x.) . Vit. lumière fixe 30m/s

Les vitesses des astronautes resultent d'un échange de quantités de mouvement, donc la vitesse v_2re du second astronaute vient avec masses des astronautes notées M₁ et M₂ avec des masses M₁ = M₂, dont vit. v_2re équivalente à - v_1re

Energie cinétique totale, forme Mv²/2, v_abs étant = (ve+vr).

Coriolis
inclus

Energie corresp. aux vitesses
entraînement + relative

Sans
Coriolis

Energie corresp.à la vit.
d'entraïnement

Energie corresp. à la vit
relative.

Coefficient de la variation
des masses des deus
astronautes.

Energie Coriolis

Energie totale des deux
astronautes

On constate que l'énergie totale calculée par la mécanique newtonnienne est égale à la somme de l'énergie inertielle d'entraînement + l'énergie inertielle relative + l'énergie complémentaire de Coriolis: cf expressions (36) à (40).

Cette énergie complémentaire correspond au potentiel inertiel des valeurs des masses complémentaires liées aux effets des forces de Coriolis.

L'énergie cinétique "Coriolis entraînement + relative + Coriolis" correspond à l'énergie des masses compensatrices complémentaires "Coriolis". La vitesse d'entraînement dans le graphique si-dessous est de 15 m/sec. La vitesse max. rel.+ entraînement est donc de 30 m/sec., (vitesse limite rel. + entr. fictive maximum admise dans ces exemples ) , afin de comparer à la vitesse limite c relativiste.

Les indices E₁ et E₂ correspondent aux N° de l'astronaute en question. Courbes rouges astronaute 1, courbes bleues astronaute 2.

E_iCore : énergie Coriolis
E_ire : énergie relative:
E_iTote : S énergie entraînement + relative
E_iTot : S énergie entraînement + relative + Coriolis

E_1Tote= Energie totale astronaute 1
E_2Tote= Energie totale astronaute 2
E_EE =Energie relativiste d'un astronaute

Formule d'équivalence de la masse/énergie relativiste

Appliquons les formules relativistes (33) et (34) du texte chapitre 2, § 2.4. c = C = 30m/sec

Masse Newtonienne = M₀, Masse ,relativiste = M :

au repos

Energie relativiste

Energie cinétique relativiste

l = fonction de Lagrange

vitesse de la lumière fictive 30m/sec

La formule ((49) est mathématiquement indéfinie et génère les valeurss 0 et 1.

Energie relativiste au repos avec la vitesse lumière fictive C.

(M₀ d'un astronaute = 80kg)

Energie relativiste au repos avec la vitesse lumière réelle c.

Ce graphique compare la courbe de l'énergie cinétique totale d'une masse équivalente à celle d'un astronaute (80kg) à la valeur de masse variable "de Coriolis ", en pointillée bleu.

A noter la similitude de la courbe newtoniennes de la masse complémentaire "de Coriolis" avec la courbe relativiste.

Dans ces calculs la vitesse de la lumière C = 30 m/sec est substituée à la vitesse relativiste c de Einstein afin de réaliser une comparaison dans le cadre des vitesses usuelles compatibles avec l'exercice en question . A noter que ce procédé, utilisé dans le petit livre de vulgarisation bien connu de la théorie de Einstein "Tompkins au pays des merveilles", est sans influence sur les principes conceptuels. Les forme des courbes sont identiques pour C et c.
La notion "vitesses relativistes" est considérées, contrairement à celle de la relativité newtonienne, comme vitesse relative de l'objet en question par rapport à la vitesse de la lumière c, soit dans notre espace avec la vitesse de la lumière C (= 30 m/s.).

Diverses formes équivalentes du coefficient k pour l'évaluation de la valeur de la masse correspondant à la force complémentaire compensatrice "de Coriolis" .

Formulaire pour le calcul du coefficient des masses variables "Coriolis" newtoniennes des astronautes. Les formules 50a à 50b sont équivalentes

(50a)

Coefficient de correction relativiste Einstein avec une vitesse de la lumière fictive C = 30m/sec.

= vit réelle de la lumière

Masse relativiste v astronaute 1

Masse relativiste astronaute 2

La valeur de 0,178kg représente l'augmentation relativiste de la masse des astronautes en tenant compte de la vitesse fictive de la lumière C. Calculée avec la valeur réelle c de la vitesse de la lumière elle serait infime, mais théoriquement réelle. Les variations relativistes de la masse se répercutent pratiquement seulement à des vitesses très importantes. A noter que ce calcul d'après Einstein n'a pas de relation avec les problèmes des vitesses relatives des astronautes par rapport à la rotation d'entraînement du satellite. Elle tient compte uniquement de la relativité des vitesses des astronautes par rapport à celle de la lumière.

Avec v_ri (relative) = x_E, variable entre -30,0 m/sec et la vitesse de la lumière fictive C ( = 30m/sec) . - A remarquer: la limite 30m/sec apparait comme singularité dans l'application des formules (division par 0)

Variables vit. relatives_:

g = accélération
de Coriolis tangent.

Evaluation de la masse complémentaire correspondante à la force de Coriolis

ou:

Masse "de Coriolis" (Newton)
complémentaire.

Masse Newton totale des masses M1 et M2 y compris la masse compensa- satrice."de Coriolis"

Variation des forces appliquées
aux astronautes en fonction des
vitesses relatives par l' équation de Newton généralisée (18)

Force centrifuge résultant de l'accélération de Coriolis (Newton) 2 . v_e . v_r/r compte tenu de la masse .

Variation de la masse M relativiste

1) Variation de la force
centrifuge g = M.v²/r
2) Idem pour forces // vitesse
solution relativiste

Energ. de vit. entraînement

Variation de la valeur inertielle de
l'astronaute 1 en vitesse relative par
rapport à la rotation d'entraînement W
de la station spatiale. Il s'agit de son
pseudo-poids instantané. La masse est définie en physique par l'inertie de l'objet matériel en question, dans ce cas l'astronaute. Sa valeur inertielle s'interprête donc comme masse
variable en fonction de la relativité de
son mouvement par rapport à la rotation
du satellite, son monde isolé.
La courbe présente un maximum à l'abscisse de l'équivalence des vitesses d'entraînement et relatives.

xE = vitesse relative

F_EE force perpendi-
culaires à la vitesse
x_e conforme au for-
mulaire relativiste
de Einstein

F_ECor forces centri-
fuges complémen-
taires Coriolis newtoniennes

F_N1 Forces totales
newtoniennes y compris masses complémen-
taires "de Coriolis"

x_EE et x_E = vitesses
abs. tangentielles
des voyageurs.

Comparaison des forces inertielles des forces dues aux accélérations tangentielles relatives des astronautes avec celles induites par les forces absolues, y compris les masses complémentaires de Coriolis.
A noter que les courbes newtoniennes (équation de Newton généralisée(15) et (16)) et relativistes se suivent de très prêts jusqu'à 20 m/sec avec C fictif de 300m/sec. En tenant compte de la vitesse réelle c (300 000 km/sec) cette limite correspond à env. 200 000 km.sec. Elles divergent à partir de cette limite.

La variation des masses
Complémentaires diffère
de celles relativistes. Elle
se croisent aux environs
des vitesses relatives de
18 m/sec. ce qui corres- pond à 180 000km/sec
en appliquant la vitesse réelle c de la lumière.

Cette abscisse de crois- sement correspond à celle des forces, voir courbe (60) précédente.

M_E1 Coeficients des valeurs des masse de Coriolis complémentaires des astronautes (Newton)
M_E1T Valeurs de la masse totale m₀ réelle + masse Coriolis, astronaute 1 (Newton)
M_E2T Valeurs de la masse totale m₀ réelle + masse Coriolis, astronaute 2 (Newton)
M_EE Valeur relativiste d'un astronaute. (Einstein)

On constate que la somme des valeurs des masses complémentaires instantanées (pseudo-tensorielles) des deux astronautes sont symétriques en signes. Leurs sommes s'annulent en valeurs absolues.
Elles ne s'annulent pas en valeurs vectorielles, voir figures 2 à 5.

Donc: la forme de l'expression masse complémentaire
de Newton est similaire à celle de la masse variable de Einstein.

Le principe conceptuel est différent. La somme des valeurs de masses, à la suite d'un échange de quantités de mouvement est une valeur invariante.

Les valeurs inertielles des mêmes masses sont par contre différente de leurs valeurs au repos m₀.

La symétrie des résultantes des valeurs dynamiques est anti- symétrique à celle des masses. _.