Annexe 2. Précession des périhélies. Exemple appliqué au couple Mercure/Soleil

On considère les centres de masse réelles m₁ et m₂ des deux hémi-sphères d'une planète représentée schématiquement par une sphère en orbite autour du centre O avec une vitesse de rotation instantanée W. La sphère, solidaire du repère mobile O'x'y'z', tourne autour de l'origine O'. On calcule les "masses fictives de Coriolis" afin de les associer à la masse totale de la sphère.

Masse des hémisphères: supérieure masse m₁ et inférieure m₂

Rayon de rotation des masses m₁ et m₂ autour du centre de rotation de la planète, O', de rayon r. O'x'y'z' = repère mobile. Rayon.: 2,439.10⁶ m.

Rayon en tenant compte du c.d.m. Mercure Soleil:

Rayon de révolution autour du centre O du repère Oxyz, repère fixe:

Vitesse angulaire relative de O'x'y'z' = w, Vitesse angulaire d'entraînement= W

Révolution sidérale.:

Période de rot.:

Formulaire: F_a = Force absolue, F_e = Force d'entraînement, F_r = Force relative,
F_C = Force de Coriolis.

Vitesses relatives: v_r1 et v_r2. Vitesses d'entraînement: v_e1 et v._e2

Vitesses absolues.:

Masse complémentaire fictive Coriolis. Coefficient k d'affinité avec la masse réelle résultant de sa définition dans le terme "forces d'ent- raînement".: k =k

soit.:

Forces.:

Résultats 1.

Entraînement

Relatives

Coriolis

Absolues

Vitesses relatives

Vitesse d'entraînement

Vitesse absolues

Masses M = m₁ et m₂ concentrées au centre de rotation, centre de masse.

Calcul des masses généralisées.: (cf § 2.12 relations (33) et (34) m_i = m_0i (1 + k . e_{W *} e_wi)
u e_{W *} e_wi est = +1 pour m₁ = -1 pour m₂ et k =k

soit.

Calcul du centre de masse généralisé par rapport à l'origine O'.

Par rapport à O'

Vérification: calcul de la position "s" de la résultante des forces inertielles par rapport à l'abscisse O'x' (O'= centre de masse réel du système):

= s

Calcul de la masse réelle de la planète:
les valeurs calculées en fonction des paramètres observées correspondent logiquement à celles induites par l'inertie des masses, donc à la somme des masses réelles + les masses fictives "de Coriolis". En désignant les mas-
sees réelles par m_g, les masses fictives "de Coriolis" par m_C et les masses
inertielles par m_i , il vient.:
m_C = m_g .k_a; m_i =m_g+m_C; m_g= m_i - m_g. k_a;
donc.: m_g = m_i / (1+k_a)

Masse gravitationnelle

Masse Coriolis

Masse Coriolis distale

Masse Coriolis proximale

Masse gravitationnelle par hémisphère

Masse inertielle hémisphère distale

Masse inertielle hémisphère proximale

Masse distale + proximale = masse (g)

Centre de masse inertiel par rapport à O'

Décalage du centre de
masse inertiel / O

Rapport des périodes de révolution de la planète en fonction de la trajectoire du centre d'inertie (y compris masses Coriolis) et celle du centre de masse réelle:
conformément à la troisième loi de Képler la période T d'une révolution totale est fonction de la surface balayée de l'ellipse de la trajectoire de la planète. G = constante de gravitation. M_s =Masse du Soleil.

En posant ;:

La différence faible de T calculée avec la valeur Pr dans les données est maintenue afin de garder la continjuité des valeurs.

a) Solution planète observée sur orbite inertielle (a) et avec
masse inertielle M_pti (Masse calculée sur les observations.)

b) Solution masse gravitationnelle décalée a_int et masse réelle M_p.

par année Mercure

Rapport année Mercure/ Terre.:

Décalage séculaire en secondes.:

Décalage par année terrestre:

Décalage en m (vitesse orbitale = vitesse d'entraînement):

Décalage séculaire:

Décalage en radians sur un cercle auxiliaire correspondant au rayon lors de la position en périhel 4,6.10¹⁰ m:

Soit un décalage du périhel en secondes d'arc:

sec.d'arc

Vérification: l'arc de cercle correspondant à d correspond à

donc au décalage séculaire

Le décalage observé est de 43.03 + 0.45". La différence de 1"31 avec le maximum observé s'explique par l'hypothèse de la planète isotrope, c'est à dire d'une densité uniforme. En réalité elle est composée d'un noyau métallique très important. (Fig. 8). Le décalage est fonction de la répartition des densités dans la sphère, c'est dire de son moment d'inertie en rotation.

La densité moyenne de la planète est de 5480 kg/m^3.. L'hypothèse d'une densité de 2500 kg/m³ pour une zone externe silicatée détermine une densité de 7.055 kg/m³ pour le noyau, Fig. 8. Un calcul du décalage du centre d'inertie par rapport au centre de masse donne environ. 32,721 m au lieu des 43,340 m correspondants à l'isotropie. Ces valeurs sont evidemment hypothétique et représentent des limites. En adoptant les 32,721 m. le décalage séculaire calculé avec le formulaire ci-dessus se réduit à 33,544 sec. d'arc, valeur très inférieure à la valeur observée.
Ce décalage est fonction de la répartition des densités (de son moment d'inertie) dans la planète et non de sa valeur absolue.

La répartition interne des densités est hypothétique. On peut établir une fourchette de la relation du décalage du périhel de l'orbite en fonction de la valeur de l'écart du centre de masse réel et du centre de masse généralisé en établissant une courbe du décalage entre 44"80 et 33"50:

En partant de D_séc on condense les formules comme suit:

Décalage par année terrestre:

Le rapport d_M/D_séc est une constante nommée K_d

Le rapport temporel D_s au décalage en seconde d'arc est une constante:

En choisissant l'intervalle D_séc entre 4 et 5 secondes la variable d vient.:

Limites des valeursobservées 42,66" - 43,56

Limites des valeurs calculées en tenant compte des masses
complémentaires Coriolis ainsi que d'une fourchette de moments d'inerties en variant l'hypothèse de l'étendue du noyau métallique de la planète.

en secondes temps

secondes d'arc

En mètres

Les limites en rouge pointillées délimitent la zone correspondant à la fourchette des observations. Elle est fonction du décalage du centre de masse généralisé, (centre d'inertie et du centre de masse réel, donc de la répartition des densités dans la masse de la planète. En adoptant la moyenne observée de 43,11" on peut déterminer la distance du centre de masse généralisé au centre de masse réel comme suit.

Calcul du décalage du centre de masse généralisé par rapport au centre des masses réelles en fonction de la valeur moyenne du décalage du périhel observée (43"03).

On considère a_g (rayon de l'orbite de la planète) comme variable en développant DT_ab + T_a = T_{b .:}

Soit.:

La colonne D._séc2 représente une fourchette de décalages optée entre 4 et 5 secondes. (cf. relation (34)).

La colonne DT_ab chiffre le décalage par année terrestre. (cf.(35)).

La colonne T_b1 indique les valeurs de l'orbite de la planète en fonction de la liste des D_séc2 (cf.29).

= DT_ab

=T_b1

Formule condensée des relations (28) à (32) résumant la relation entre les valeurs de la fourchette de décallage temporel séculaire et les positions du centre de masse généralisé (centre d'inertie).

La colonne D_séc2 chiffre l'option de la fourchette des décalages temporels, (en ordonnée sur le graphique (57)).

La colonne f(Ds_éc2) le décalage en m.du centre de masse généralisé( d'inertie) en fonction du décalage temporaire. Le graphique limite la position de ce centre environ entre 41,20m et 42,02m, ce qui permet d'établir certaines hypothèses sur la répartition de la densité dans la planète.

Domaine des valeurs observées. délimitées sur le graphique ci-dessous par les lignes pointillées.
correspondants au décalage en secondes d'arc de
43"03 + 0,45".

Vérification: Recoupement des calculs page 5 avec page 4

=d